Naast een visuele voorstelling m.b.v. een boom-, wegen- of venndiagram, kan ook de driehoek van Pascal hulp bieden bij telproblemen. Hieronder een voorbeeld.
Tellen van Wegen
Sommige steden hebben een rechthoekig stratenpatroon of een dambordenpatroon. Dit is overduidelijk het geval in Barcelona in de buurt van 'La Sagrada Familia' (de kerk van de Heilige Familie), de waanzinnige creatie van de beroemde architect Gaudi. Alle straten liggen volgens een perfect rooster, behalve de 'Avinguda de Gaudi' die het stratenpatroon diagonaal doorsnijdt.
Carmen bevindt zich bij de 'Sagrada Familia' en wil zo snel mogelijk (zonder omwegen dus) naar 'Hospital de Santa Cruz y San Pablo'. Zoek beide punten op het kaartje links. Carmen houdt niet van drukte en vermijdt daarom de 'Avinguda de Gaudi'. Een mogelijke route is aangegeven op het kaartje links, maar er zijn nog vele andere mogelijkheden. Enig idee hoeveel routes, zonder omwegen, er zijn?
Het correcte aantal bepalen is niet zo gemakkelijk. We bekijken daarom eerst een eenvoudigere opgave:
Op hoeveel manieren kunnen we van A naar E?
Zonder omwegen kunnen we op 2 manieren van A naar B. Ook van A naar C en van A naar D kunnen we op twee manieren. Tot slot kunnen we op 4 manieren van A naar E. Bij het oplossen van deze oefening is het handig om bij elk kruispunt het aantal routes van A naar dat kruispunt te tellen (zie onderstaande figuur). Je kunt hierbij gebruik maken van het aantal routes naar de vorige kruistpunten.
Terug naar Barcelona om het aantal kortste wegen te bepalen om van de 'Sagrada Familia' naar 'Hospital de Santa Cruz y San Pablo' te wandelen.
Bij elk van die wegen moet men 4 eenheden naar rechts (R) en 4 eenheden naar boven (B). Een van de routes is bijvoorbeeld RRBBRBBR (zie figuur hierboven). Bij elk kruispunt schrijf je dus het aantal kortste wegen op vanuit de 'Sagrada Familia'. Je vindt dan 70 mogelijke routes.
Het vierkantig telschema dat we hier gebruikten wordt vaak driehoekig voorgesteld. Dit getallenpatroon wordt de driehoek van Pascal genoemd.
De driehoek ontstaat als volgt:
Het getal bovenaan is 1. Vervolgens schrijf je aan weerszijden schuin onder deze 1 nog twee enen. Dit zet je voort zodat je twee schuine rijen krijgt met alleen maar enen, deze twee rijen vormen de zijden van je driehoek. De overige elementen bekom je door de volgende regel: elk getal in het inwendige van de driehoek is de som van de twee getallen schuin erboven. Zo ontstaat dus een oneindig grote driehoek, waarvan hierboven een deel is weergegeven.
Het correcte aantal bepalen is niet zo gemakkelijk. We bekijken daarom eerst een eenvoudigere opgave:
Zonder omwegen kunnen we op 2 manieren van A naar B. Ook van A naar C en van A naar D kunnen we op twee manieren. Tot slot kunnen we op 4 manieren van A naar E. Bij het oplossen van deze oefening is het handig om bij elk kruispunt het aantal routes van A naar dat kruispunt te tellen (zie onderstaande figuur). Je kunt hierbij gebruik maken van het aantal routes naar de vorige kruistpunten.
Het vierkantig telschema dat we hier gebruikten wordt vaak driehoekig voorgesteld. Dit getallenpatroon wordt de driehoek van Pascal genoemd.
De driehoek ontstaat als volgt:
Het getal bovenaan is 1. Vervolgens schrijf je aan weerszijden schuin onder deze 1 nog twee enen. Dit zet je voort zodat je twee schuine rijen krijgt met alleen maar enen, deze twee rijen vormen de zijden van je driehoek. De overige elementen bekom je door de volgende regel: elk getal in het inwendige van de driehoek is de som van de twee getallen schuin erboven. Zo ontstaat dus een oneindig grote driehoek, waarvan hierboven een deel is weergegeven.